الجذور التربيعية: القواعد و الأخطاء الشائعة

1

مقدمة

الجذر التربيعي من أكثر دروس الرياضيات حضورًا في امتحان شهادة التعليم المتوسط، وهو أيضًا من أكثر الدروس التي يخسر فيها التلاميذ نقاطًا، لأنهم يخلطون بين قواعد الجمع وقواعد الضرب، أو ينسون ما يجب تبسيطه. في هذا المقال نراجع القواعد الأساسية بطريقة مبسّطة، ثم نكشف الأخطاء الشائعة ونتعلم كيف نتجنبها، مع أمثلة محلولة جاهزة للمراجعة السريعة.

2

ما هو الجذر التربيعي؟

التعريف الصحيح

الجذر التربيعي لعدد موجب أو معدوم aa هو العدد الموجب (أو المعدوم) الذي مربّعه يساوي aa، ويُرمز إليه بالرمز a\sqrt{a}.

25=5\sqrt{25}=5لأن 52=255^{2}=25
49=7\sqrt{49}=7لأن 72=497^{2}=49
0=0\sqrt{0}=0حالة خاصة
!

ملاحظة مهمة: الجذر التربيعي يكون دائمًا موجبًا أو معدومًا. المعادلة x2=25x^{2}=25 لها حلّان: x=5x=5 و x=−5x=-5، أما 25\sqrt{25} فيساوي 55 فقط.

3

القواعد الأساسية

ليكن aa و bb عددين موجبين أو معدومين (مع b≠0b\neq 0 في القاعدة 4):

القاعدة 1مثال تطبيقي(7)2=7(\sqrt{7})^{2}=7
(a)2=a(\sqrt{a})^{2}=aa×a=a\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a
القاعدة 2مثال تطبيقي132=13\sqrt{13^{2}}=13
a2=a\sqrt{a^{2}}=a(a≥0)(a\geq 0)
القاعدة 3مثال تطبيقي9×4=9×4=3×2=6\sqrt{9\times 4}=\sqrt{9}\times\sqrt{4}=3\times 2=6
a×b=a×b\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}
القاعدة 4مثال تطبيقي 254=254=52\sqrt{\dfrac{25}{4}}=\dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}=\dfrac{5}{2}
ab=ab\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}
4

تبسيط الجذور وإخراج عامل من تحت الجذر

الطريقة: نبحث عن أكبر مربع كامل يقسم العدد الموجود تحت الجذر، ثم نطبّق قاعدة الجداء (القاعدة 3).

1
50=25×2=25×2=52\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=\sqrt{25}\times\sqrt{2}=5\sqrt{2}25 هو أكبر مربع كامل يقسم 50
2
12=4×3=4×3=23\sqrt{12}=\sqrt{4\times 3}=\sqrt{4}\times\sqrt{3}=2\sqrt{3}4 هو أكبر مربع كامل يقسم 12
3
72=36×2=36×2=62\sqrt{72}=\sqrt{36\times 2}=\sqrt{36}\times\sqrt{2}=6\sqrt{2}36 هو أكبر مربع كامل يقسم 72

المربعات الكاملة التي ستحتاجها كثيرًا:

4499161625253636494964648181100100121121144144169169196196225225

جمع الجذور

لا يمكن جمع جذرين إلا إذا صارا متشابهين بعد التبسيط، أي لهما نفس العدد تحت الجذر.

18+8=32+22=52\sqrt{18}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}
5

تحويل مقام كسر إلى عدد ناطق

عندما يكون في مقام الكسر جذر، نضرب البسط والمقام في الجذر نفسه للتخلص منه.

مثال 112=1×22×2=22\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{1\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
مثال 263=6×33×3=633=23\dfrac{6}{\sqrt{3}}=\dfrac{6\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}=\dfrac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}
6

الأخطاء الشائعة وكيف نتجنبها

أكثر 5 أخطاء يقع فيها تلاميذ الرابعة متوسط: احفظها لتتجنبها في الامتحان.

1

الخطأ الأول: اعتبار a+b=a+b\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}

هذا خطأ كبير. للتأكد منه، جرّب بأعداد بسيطة:

9+16=25=5\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5
9+16=3+4=7\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7

النتيجتان مختلفتان (5≠75\neq 7)، إذن المساواة خاطئة.

✓ هذه القاعدة تصح مع الضرب والقسمة فقط، ولا تصح مع الجمع والطرح.
2

الخطأ الثاني: كتابة 16=±4\sqrt{16}=\pm 4

الصحيح: 16=4\sqrt{16}=4 فقط. تظهر الإشارة ± عند حلّ المعادلة x2=16x^{2}=16 (فنجد x=4x=4 أو x=−4x=-4)، وليس عند حساب الجذر.

3

الخطأ الثالث: حساب جذر عدد سالب

العبارة −9\sqrt{-9} غير معرّفة في برنامج السنة الرابعة متوسط، لأن مربّع أي عدد لا يكون سالبًا أبدًا.

4

الخطأ الرابع: جمع جذور غير متشابهة

العبارة 23+322\sqrt{3}+3\sqrt{2} تبقى كما هي، لأن الجذرين مختلفان. ولا يصح أن نكتب 555\sqrt{5} أو 565\sqrt{6}.

23+32=552\sqrt{3}+3\sqrt{2}=5\sqrt{5}خطأ
23+322\sqrt{3}+3\sqrt{2}تبقى كما هي
5

الخطأ الخامس: نسيان التبسيط في النتيجة النهائية

لا تترك الجذر قابلًا للتبسيط ولا تترك جذرًا في المقام، بل بسّط النتيجة إلى أبسط شكل. فتنقيط الإجابة يعتمد على المراحل وعلى التبسيط النهائي.

50\sqrt{50}تبسيط ناقص
525\sqrt{2}أبسط شكل
7

تدرّب الآن – السلسلة التفاعلية 2

ارجع إلى السلسلة التفاعلية 2 لتتدرّب على هذه القواعد، وستجد التصحيح فورًا بعد كل إجابة.

ابدأ التمرين الآن
8

نصائح للامتحان

1

احفظ المربعات الكاملة حتى 152=22515^{2}=225؛ فهي تسهّل عليك التبسيط كثيرًا.

2

تحقّق دائمًا من نتيجتك بالآلة الحاسبة أو بتقدير تقريبي. مثال: 50≈7,07\sqrt{50}\approx 7{,}07 و 52≈7,075\sqrt{2}\approx 7{,}07.

3

اكتب خطوات التبسيط كاملة، فالتنقيط يعتمد على المراحل.

4

لا تترك الجذر في المقام في النتيجة النهائية، بل حوّله إلى عدد ناطق.

خلاصة

الجذور سهلة إذا حفظت القواعد وتذكّرت الفرق بين الجمع والضرب

الجذور التربيعية سهلة إذا حفظت القواعد الأربع وتذكّرت أن الجمع والطرح لهما حساب خاص. الآن وقد فهمت القواعد وتعرّفت على الأخطاء الشائعة، انتقل مباشرة إلى السلسلة التفاعلية 2 واختبر نفسك؛ فالتصحيح الفوري سيوضح لك أخطاءك أولًا بأول.

⭐ 3 نجوم بانتظارك – تصحيح فوري بعد كل إجابة
الانتقال إلى السلسلة التفاعلية 2 إعادة قراءة المقال من البداية
تخطَّ شريط المقالات

أسرار التفوق في الرياضيات

نصائح مجربة من الأستاذ عفيصة سايح لتجعل الرياضيات أسهل مادة

أضف تعليقًا

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *